$c \in R$ ની મહતમ કિમંત મેળવો કે જેથી સુરેખ સમીકરણો $x – cy – cz = 0 \,\,;\,\, cx – y + cz = 0 \,\,;\,\, cx + cy – z = 0 $ ને શૂન્યતર ઉકેલ છે . 

જો સમીકરણ સંહિત   $2 x+3 y-z=5$  ;  $x+\alpha y+3 z=-4$  ;  $3 x-y+\beta z=7$ ને અસંખ્ય  ઉકેલો હોય, તો  $13 \alpha \beta$=____________. 

જો $A, B, C$ એ ત્રિકોણના ખૂણા હોય તો નિશ્ચાયક $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sin \,2A}&{\sin \,C}&{\sin \,B} \\ 
  {\sin \,C}&{\sin \,2B}&{\sin A} \\ 
  {\sin \,B}&{\sin \,A}&{\sin \,2C} 
\end{array}} \right|$ ની કિમંત મેળવો.

જો $A = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\a&b&c\\{{a^3}}&{{b^3}}&{{c^3}}\end{array}\,} \right|,B = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\{{a^3}}&{{b^3}}&{{c^3}}\end{array}\,} \right|,C = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\{{a^3}}&{{b^3}}&{{c^3}}\end{array}\,} \right|,$ તો આપલે પૈકી ક્યો સંબંધ સાચો છે .

ધન સંખ્યાઓ $x,y$ અને $z$  માટે નિશ્રાયક $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{{{\log }_x}y}&{{{\log }_x}z}\\{{{\log }_y}x}&1&{{{\log }_y}z}\\{{{\log }_z}x}&{{{\log }_z}y}&1\end{array}\,} \right|$ ની કિમત મેળવો.